1：芝诺的乌龟，不外是用“无限”粉饰了“有限”

这是为一册书写的绪言，粗拙先容了与物理密切相关的基础数学学问，主若是微积分与线性代数的篇章。

那本书没能出书，在此把部老实容送上。

为了清爽本书评述的物理话题，读者一又友们必须具备一定的数学基础，因此我有必要在镇定内容启动之前聊一聊数学。

诸君读者不消对数学感到狰狞，好多东说念主对于数学的惶恐齐是源于学生期间的数学磨练，这很普通，因为磨练的方针便是要难倒一批东说念主，把加减乘除变着多样边幅去恶心东说念主，达到筛选的方针。

请信服我，本书磋议数学毫不是要为难读者，而是要让诸君读者在短时刻清爽一些必要的数学用具。请健忘你对数学有过的一切懦弱，用谦和的心态去赏玩数学。

这里补充的数学齐和物理联系，想维神情和数学也有一些相异之处。咱们的原则是用不到的绝未几说。

寰球也不错顺利跳过权术章。等什么时候看不懂了，再复返权术章琢磨，不妨是一种便捷快捷的清爽目标。即便你独一初中数学的水平，致使是小学数学的水平，也不妨试着读一读底下的内容。

要学好微积分和线性代数，归根结底，一切高档的数学齐是微积分和线性代数的多样变化。

——丘成桐

一语气，东说念主恒久追不上乌龟吗？

这一章是微积分和线性代数的篇章，寰球不消对“微积分”、“线性代数”这些词语感到懦弱，它们齐是直快明了的数学，只是常见的课本免强它们以一种晦涩的面容示东说念主。

接下来你需要作念的只是只是赏玩它们，学会赏玩，是清爽数学的要害一步。

让咱们先来看一组数字：

3，4.5，17，0.6，-2，-11，0，-1.5，4.6

试着把它们从小到大摆列：

-11，-2，-1.5，0，0.6，3，4.5，4.6，17

如果你不错完成上头这件事，那么分解你仍是具备赏玩微积分的基础了。

刻下让咱们更进一步，用一种直不雅的枢纽示意上头这一组数的大小关系，不错把上头的每一个数齐示意成一条直线上的点。

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如果只是定性地示意这些数的大小关系，那么这些点之间的距离不错简陋选，只须规矩不乱就行了。

如果要精准地定量示意这些数的大小关系，那么这些点之间的距离也很有厚爱，比如示意0的点和示意3的点之间的距离是示意-1.5的点到示意0的点的距离的2倍。

定量示意的直线其实便是数轴，数轴上的每个点齐示意一个数字（更准确地说，是实数），数轴上的点和实数之间有着逐一双应的关系。

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直不雅地看，数轴便是一条直线，而直线是一个一语气的图形，这里引出了一个至关紧要的成见：一语气。

何为一语气？

对于直线，一语气说的便是：直线上的纵情两个点之间齐有无限多个点。

这并不难清爽，因为数学中的点是莫得大小之分的，它不占据任何空间，这就导致有限的空间存在着无限多的点。

一个很好的例子便是“芝诺的乌龟”，这个故事说的是东说念主恒久无法追上乌龟。

尽管你比乌龟跑得快，然而当你跑到乌龟原来所在的位置A时，乌龟仍是上前爬了一段距离，到达了位置B。

当你跑到位置B时，乌龟仍是爬到了位置C。

这么叠加下去，就会赢得东说念主恒久追不上乌龟的悖论。

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其实“东说念主恒久追不上乌龟”的论断只在有限的空间内修复，也便是说，在一段有限的空间内，东说念主莫得追上乌龟，然而只须东说念主再多追出一段距离，就不错追上乌龟。

“芝诺的乌龟”给东说念主一种“恒久”的嗅觉，是因为它精巧地欺骗了“无限”的元素，也便是有限的空间中的无限多的点。它让东说念主们把预防力齐放在了无限多的点上，忽略了有限的空间。

天然，这么想考的前提是“空间是一语气的”。如果空间根底就不是一语气的，那么“芝诺的乌龟”会更容易被破解。

至于空间究竟是否一语气，这是本书后续章节要磋议的内容，而刻下，为了让寰球赏玩微积分，寰球只需要澄清数学中的直线是一语气的。

函数，微积分的主角

前边说过：数轴上的点，和实数之间有着逐一双应的关系。

把它和直线的一语气性磋议一下，不错发现实数亦然一语气的，纵情两个实数之间齐有无限多个实数，这粗陋被称为实数的广宽性。比如4.5和4.6之间不错列举出无限多的数：4.51、4.511、4.5111、……

之前咱们看了一组数字，引出了一条数轴，刻下咱们来看两组数字：

3，4.5，17，0.6，-2，-11，0，-1.5，4.6

6，-3，7，19，0.3，-2.4，-1，9，15

这不错引出两条数轴，天然，也不错在一条数轴上把它们示意出来，不外在这里我要说的这两组数之间是联系系的，用两个数轴不错更了了地抒发这种关系。

这种关系便是两组数之间的逐一双应的关系，比如第一组的3和第二组的6对应，第一组的4.5和第二组的-3对应。

如果用线把两个数轴内部相对应的数连起来，就会赢得这么的图像：

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这种逐一双应的关系不错被称为“映射”，上头这幅图像抒发的便是一个数轴到另一个数轴的映射。

其实上头这幅图像并不是示意映射的最好枢纽，常用的示意枢纽是把两个数轴垂直扬弃，用一个个的点来示意映射，底下的图像仍是很直不雅了，在此就未几作笔墨描述了。

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映射是一种广泛存在的时势，设想一下苹果从树上掉落的场景，从苹果启动下降的那一刻启动计时，每隔0.5秒记载一次苹果下降的距离（暂且不要管这些数据的单元），这就赢得了两组数：

资格的时刻

下降的距离

每一时刻对应着一个下降的距离，时刻和距离之间有着一种映射，不错用上头临描述枢纽来示意这种映射：

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让咱们纪念一下实数的广宽性，纵情两个实数之间齐有无限多个实数，是以之前只取数轴上的某几个点进行映射的枢纽并不齐备。

让咱们把数轴上的每个点之间齐进行映射，就会赢得一条一语气的弧线图像：

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这便是函数，在苹果下降的例子里，不错说：距离是对于时刻的函数。

如果用x示意距离，用t示意时刻，也不错说x是对于t的函数。这其实便是说x跟着t的变化而变化，或者说每一个t的值齐映射到一个x的值。咱们不错粗拙地认为函数便是近似于上头那幅图里的弧线图像。

不外有些函数很稀薄，比如前边的苹果下降赢得的两组数，不错发现：

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不错记为：

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如果t只取0.5、1、1.5、2、2.5、3这些数，那么x=4t2代表的便是散点图像。

如果t取数轴上的整个点，那么x=4t2代表的便是一条弧线。

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是以不错认为

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亦然函数，事实上它粗陋被称为函数的认知式，而那些弧线粗陋被称为函数的图像，认知式和图像齐是函数的示意枢纽。

不外像

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这么不错把图像写成一个公式的函数其实相配少，绝大大齐函数齐无法用如斯粗拙的认知式来抒发。

固然大部分东说念主一预见函数，最先预见的可能是：

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这么的公式，然而面临这大千寰球存在的多样函数关系，认知式其实很无力，除非咱们能够掌持一种被称为“级数张开”的数学用具（后续会谈到）。

值得一提的是，咱们不错用x=f(t)来示意任何函数的认知式，这里的f(t)便是在详细地示意一个含有t的式子，不错是：

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奇函数与偶函数

函数是微积分的主角，不外在咱们赏玩微积分之前，最好先赏玩一下函数自身的好意思妙之处：

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奇函数和偶函数，不错用函数图像直不雅抒发，不外咱们也不错使用函数认知式，赢得令东说念主高亢的论断。

用x=f(t)来示意纵情函数的认知式，那么奇函数的秉性是：

f(t)=-f(-t)

偶函数的秉性是：

f(t)=f(-t)

这似乎没什么令东说念主高亢的事情，然而，如果咱们接头一个败兴的式子：

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k不错取纵情值，那么，如果k=f(-t)，会发生什么？

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诸君读者不错用奇函数和偶函数的性质去考证上图的论断，总之，咱们不错赢得一条紧要论断：纵情一个函数齐能写成一个奇函数和一个偶函数之和。

那么这个论断有什么用？

对数学有所了解的读者，应该不错从底下的公式里发现妙处。天然，我也会在后续章节中先容其中的妙处。

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2：浅谈微积分，“微分方程”与“级数张开”的魔力

刻下终于不错镇定赏玩微积分了，因为微积分的主角是函数，微分是对函数的微分，积分亦然对函数的积分。不雅察底下这个函数的图像，试着问我方两个问题：

在弧线上的每极少处，弧线的地点指向那里？

弧线与横着的数轴围成的暗影部分的面积是若干？

第一个问题引出了导数，第二个问题引出了定积分。

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清爽“无限小”

让咱们先来看第一个问题，这其实便是在求弧线上纵情极少的切线。

如果一个点沿着弧线出动，那么它的通顺地点在随时变化，在它到达某个点的俄顷的出动地点便是弧线上这极少的切线地点，在这个方朝上无限延长，就赢得了切线。

相应的还有割线，将弧线上的两个点用直线连起来，就赢得了割线。

分别用直线合资下图中的AB、AC、AD，不错发现，另一个点离A点越近，赢得的割线就越接近A点的切线。如果另一个点离A点的距离是“无限小”，那么赢得的割线便是A点的切线！

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再来看一看第二个问题，如果把暗影部分竖着分割，赢得一个个的矩形，把这些矩形的面积加起来就接近于暗影部分的面积。

分割得越细，赢得的面积就越接近暗影部分的面积。如果每个矩形的底边的长度齐是“无限小”，那么赢得的面积便是暗影部分的面积！

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上头评述的这些便是微积分的基本想想，它们齐波及到一个成见：无限小。当“无限小的操作”出现，割线变成了切线，折线围成的面积变成了弧线围成的面积。

那么究竟什么是无限小？

其实很粗拙，无限小便是比你能预见的任何数齐要小，但不是零。没错，这是一种耍恶棍的界说，不外咱们只可这么界说数学中的无限小，这波及到过于严苛的数学，在这里就未几作磋议了。

值得一提的是，物理学中也存在着近似于无限小的成见，这便是“普朗克圭臬”，在本书的后续章节会提到它。

谈一谈“导数”

刻下要把微积分的基本想想调遣成具体的算计了。

一个函数x=f(t)，当t增多，x也会相应地增多，如果t增多的量是无限小，那么x增多的量也会是无限小。

t的无限小增多量不错示意成dt

x的无限小增多量不错示意成dx

不错取个名字，把dt叫作念t的微分，把dx叫作念x的微分，d便是微分绚丽；dx/dt就不错示意函数x=f(t)的图像在职意极少的切线的地点，也便是函数x=f(t)的导数。

没错，不错把导数作为是两个微分的比值，导数也叫微商。

还不错用其它款式示意导数，比如x’=dx/dt，再比如f ’(t)=dx/dt。导数的款式并不紧要，用哪种款式示意导数齐不错，的确紧要的是清爽导数的想想。

至于dx/dt怎样描述地点，这里有必要评述一下三角函数。

描述地点要用数学中的角度，大部分东说念主了解到的估量角度的枢纽是“角度制”，把圆对等分红360份。在这种估量枢纽中，直角是90度。

而在当代科学中使用的是“弧度制”，这种枢纽用角度对应的弧长与半径的比值来估量角度，单元是rad。在这种估量枢纽中，直角是π/2（只需要了解圆的周长公式，就不错减轻清爽“弧度制”）。

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对于角度，有一种专门的函数：三角函数。三角函数是对于角度的函数，跟着角度的变化而变化，是以三角函数也不错示意地点。

常用的三角函数有三种：

正弦函数

余弦函数

正切函数

它们齐不错用直角三角形的某两个边长的比值来界说。导数其实便是一种正切函数，是以它不错示意弧线上某极少的切线地点。

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谈一谈“定积分”

积分的数学抒发也很粗拙，如果每个矩形的底边长度齐是无限小，那么不错用dt来示意，一个小矩形的面积便是x·dt或者是f(t)·dt。

所谓的积分便是把这些小矩形的面积加起来，∫x·dt就示意相加的末端，∫便是积分绚丽。如果暗影部分的限度是从t=a到t=b，那么面积（定积分）便是:

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微积分最神奇的地方就在于导数和定积分之间有着精巧的关系，它被称为微积分基本定理。

这并不难清爽，x’=dx/dt也便是说dx=x’·dt，右边是不是有些眼熟？

它很像上头提到的定积分的一部分，用x’·dt替换定积分中的x·dt就不错赢得：

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积分绚丽和微分绚丽顺利放在沿途的时候不错“对消”，比如x=f(t)，那么：

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把f(t)的导数示意成f'(t)，由此不错赢得微积分基本定理：

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咱们不错用粗拙的例子来展示微积分基本定理的正确性：

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微积分的“徒子徒孙”

至此，你仍是赏玩了微积分自身的大部老实容，而在物理学中，更紧要的是微积分繁衍出的学问：微分方程和级数张开。

物理学中的那些精妙的方程（麦克斯韦方程组、爱因斯坦场方程、狄拉克方程、……）齐是微分方程。

求解这些微分方程不错赢得天然界的多样函数关系（比如电荷散播与周围电场之间的函数关系、时空蜿蜒进度与周围物资散播之间的函数关系、……），不外这会波及到较为复杂的数学，是以微分方程的话题在本书中就到此为止。

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至于级数张开，本书仍是在前边的内容中提到过这个名字，欺骗它不错写出纵情一个函数的认知式（用级数的款式），像前边提到的x=4t2这么的认知式也不错写成级数的款式。

级数其实便是把一些数或粗拙的函数加起来，况且保持这一长串的式子的款式，咱们粗陋说的齐是无限级数，要把无限多个数或粗拙的函数加起来。

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为了不错写出纵情一个函数的认知式，不错使用两种级数：

泰勒级数

傅里叶级数

傅里叶级数便是把无限多个三角函数加起来，也便是说纵情一个函数的图像齐不错由无限多个三角函数的图像加起来（严格地说，这里要使用的不是傅里叶级数，而是傅里叶变换）。

每一个三角函数的图像齐不错作为是有着一定频率的周期性振动，是以天然界的任何函数齐不错作为是由无限多个周期性振动构成的，世间万物齐在振动。

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至于泰勒级数，它与十进制的示意枢纽很像。比如有一个数字342.56，把它用近似于泰勒级数的枢纽抒发便是:

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在这个式子里，100、10、1、0.1、0.01分别是10的2次方、1次方、0次方、-1次方、-2次方。

对于函数x=f(t)，泰勒级数便是把f(t)用t的0次方、1次方、2次方、……分别乘以不同的数再加起来，至于乘的数是若干，需要用导数和高阶导数来算计。

高阶导数便是一语气对一个函数求屡次导数，一语气求两次导数便是二阶导数，一语气求三次导数便是三阶导数，依此类推。

在函数的泰勒级数抒发式中，越靠右边的项被称为“高阶项”（它们的总计需条款高阶导数来赢得）。

如果想用泰勒级数精准地抒发一个函数的认知式，那么就需要无限多项，然而如果咱们概略高阶项，只取靠左边的一项或两项会发生什么？

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不错看到咱们取的项越多就越接近精准的函数图像，取八项或九项就仍是相配接近精准的图像，而精准的图像是由无限多项构成的。

你应该也发现了，好多高阶项是“不足轻重”的，咱们不错只取有限的项来近似描述函数，这种“近似”在本书的后续内容中会屡次出现，不错匡助咱们简化好多公式的算计。

3：复数，四元数，线性代数，灵通高维空间的钥匙

复数之好意思

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如果要评比最好意思的数学公式，上头的公式宽裕不错上榜，它便是欧拉公式，磋议了数学中的五个紧要数字：

0、1、π、e、i

一些读者可能会对e和i感到目生，e是天然常数，约等于2.71828，它在描述事物的蔓延或衰减的时候相配灵验。

当n趋近于无限大时，底下这个式子便是天然常数e。

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i则是上头五个数字中最稀薄的数字，前边说过每一个实数齐对应着数轴上的一个点。

0、1、π、e齐不错在数轴上找到对应的点，然而i在数轴上莫得对应的点，因为它根底就不是实数，而是虚数。

虚数中的i，就相配于实数中的1，被称为虚数单元，有着奇怪的运算法例：

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咱们之前说的数轴其实是实数轴，相应的还有虚数轴，是以i其实对应着虚数轴上的一个点，至于虚数轴上的其它的点，则是i的倍数。

其实把每一个实数齐乘以i就会赢得虚数轴上的整个虚数，比如2i、3.5i、-1.7i。

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如果把实数轴和虚数轴垂直扬弃，就会形成复平面，复平面上的每一个点齐对应着一个复数，不错作为是由实数和虚数复合而成的数。

复数不错示意成2+3i这么的款式，在这个例子里，2和3分别是复数的实部和虚部。复数的加减乘除，不错粗拙地按照实数的加减乘除来处置，只需要预防i2= -1，比如：

(2+3i)+(4+6i)= 6+9i

(2+3i) ×(4+6i)= -10+24i

至于为何要建议虚数和复数，这要从一元三次方程的求解启动磋议，本书不再张开分解，有兴味的读者不错参阅竹帛《云霄眼下：从一元二次方程到纪律场论》。

至于复数的用处，最粗拙的便是它不错把泰勒级数实施到罗朗级数，况且和谐前边提到的罗朗级数和傅里叶级数，在复数的视角下，它们是兼并种级数。

另外，复数在量子力学中随地可见，同期亦然自动末端工夫、信号处置的基础。

四元数

复数照实比实数愈加复杂，但它还不是最复杂的数，在复数之后还有四元数，有i、j、k这三个稀薄的“数”，它们欢欣的关系是：

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对于大部分读者来说，上头的式子中ij= -ji应该是最奇特的式子之一，它违抗了乘法交换律。

其实在当代数学和物理学中常常会出现这种情况，因为这些“乘法”并不是咱们熟练的“多个加法的简化”。

四元数的具体例子是5+8i+4j+7k、7+3i+2j+1k，由四项构成，是以叫四元数，是以复数也不错被称为二元数。

四元数不错作为是由两部分构成的，以5+8i+4j+7k为例子，5被称为标量，8i+4j+7k被称为矢量。

四元数的矢量部分用于描述物体的旋转，这刻下是四元数最大的用途。

每当乘以i（或j、k），就相配于某个物体绕着某个转轴旋转了90度，乘以i2就相配于一语气旋转了2个90度，也便是180度，地点与原先相背，这也便是

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的敬爱。

上头违抗乘法交换律的式子亦然由于这种旋转形成的，具体的细节需要读者具备高妙的空间设想才能，本书不再磋议。

矢量

四元数的矢量部分不错被分离出来，形成一门单独的学问：矢量（也叫向量）。

这种矢量和四元数的矢量部分并不调换，它不是用来描述旋转的，它不错被粗拙清爽成“有大小和地点的量”。

不错用8i+4j+7k来描述一个矢量，也不错用（8，4，7）来描述这个矢量。咱们生存的空间是三维空间，有三个维度，不错用长方体来清爽这三个维度：长、宽、高。

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取一个长方体的三条棱，这三条棱分别代表长方体的长、宽、高，将这三条棱的线段无限延长赢得三条直线，让这三条直线交织于极少，如果这三条直线是三个数轴，况且交织的点在三个数轴上对应的数齐是0，咱们就赢得了三维直角坐标系。

这三个数轴被叫作念坐标轴，坐标轴的名字粗陋被循序定名为x轴、y轴、z轴，交织的点被称为坐标原点。

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对于8i+4j+7k这么的矢量，i示意x轴的地点、j示意y轴的地点、k示意z轴的地点。

不错把这个矢量像下图一样放到三维直角坐标系中，这个矢量从坐标原点指向另一个点，另一个点在x轴、y轴、z轴的投影对应的数分别是8、4、7，是这个点的坐标，亦然这个矢量的坐标。

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（8，4，7）是一种愈加直快的示意枢纽，只需用括号里的三个数就能示意三维空间中的一个矢量。

近似地，（8，4）不错示意二维空间中的一个矢量，（8，4，7，5）不错示意四维空间中的一个矢量（这里说的四维空间是数学中的成见，与相对论中的四维时空不一样），（8，4，7，5，9）不错示意五维空间中的一个矢量，……

按这种枢纽，咱们不错示意n维空间的矢量。大部分读者可能以为高维空间出现得太怪异，但其实高维空间自身就不是何等难以清爽的成见。

天然，如果你非要直不雅地设想出高维空间，那照实很繁重，不错说是简直不能能的事。

逾逾意境的“壁垒”

数学最基本的想想便是“以数解形，以形助数”，“数”是详细的，“形”是直不雅的。

当咱们最启动清爽某个数学成见时，常常需要直不雅的“形”去扶植，然后咱们要清爽详细的“数”与直不雅的“形”之间的磋议。

当咱们澄清这些磋议之后，就不错完全借助详细的“数”去看待数学问题，详细的“数”变成了直不雅的“数”，然后咱们就不错用直不雅的“数”去实施某个数学成见。

实施之后的“数”依然是直不雅的“数”，然而对应的“形”仍是成了详细的“形”，这意味着咱们的想维水平仍是达到了直不雅的形象想维可望不能即的地步，咱们顺利逾越了数学意境的“壁垒”。

达到新的意境，就要使用新的想维，用别东说念主看来详细（在你看来直不雅）的“数”去清爽数学成见。

线性代数

希望你仍是能采选用坐标去示意n维空间的矢量的枢纽，如果你竟然作念到了，那么咱们终于不错赏玩线性代数了。

在本章的最起原，咱们提到了直线，直线上有无限多的点，或者说直线是由无限多个点构成的。

一条直线便是一个一维空间，也不错说一维空间是由无限多个点构成的。

一个平面便是一个二维空间，平面上通常有无限多的点，是以二维空间亦然由无限多个点构成的。

依此类推，三维空间、四维空间、五维空间、六维空间、……、n维空间齐是由无限多个点构成的。

的确紧要的是：怎样示意不同空间中的无限多的点？

对于一维空间，谜底是数轴，一维空间中的每一个点齐对应着一个实数，一个实数就示意一个点。

对于二维空间，谜底是两个数轴（二维直角坐标系），前边提到的二维矢量的例子（8，4）通常不错示意二维空间中的一个点，是以两个实数就不错示意二维空间中的整个点。

依此类推，n个实数就不错示意n维空间中的整个点。

不外这里还有一个小问题，矢量和点的示意枢纽是一样的，还需要辞别矢量和点吗？

谜底是不需要。

前边只是说不错把矢量粗拙清爽成“有大小和地点的量”，这并不是说矢量便是“有大小和地点的量”！

线性代数中的矢量其实便是点，咱们之前提到的一维空间、二维空间、……、n维空间其实齐是线性空间，咱们不错说无限多个点构成了n维空间，也不错说无限多个矢量构成了n维空间。

用偏向于线性代数的话说便是：无限多个矢量构成了线性空间，是以线性空间也被称为矢量空间、向量空间。

线性代数磋议的是广泛的n维线性空间，在数学中，纵情维度的线性空间齐莫得特出之处，是以高维空间在数学中莫得任何玄妙感可言。

对于入门者来说这照实是详细的内容，概况顺利使用高维空间处置具体的数学问题会更容易排斥入门者对高维空间的玄妙感，这同期也不错解答困扰好多东说念主的问题：

高维空间到底有什么用？

讲极少数学4：怎样把老鼠放到高维空间？深度认知“老鼠试药”高维空间存在吗？

咱们要知说念，高维空间是东说念主类发明的数学用具，是否存在高维空间的问题没故敬爱。

故敬爱的问题是：高维空间到底有什么用？

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把老鼠放到“高维空间”

有一个经典的“老鼠试药问题”：

在1000瓶药中，混有一瓶毒药，毒药会在吃下的一天之后发作。

用老鼠试药，如果要在一天之后就找出毒药，求教最少需要若干只老鼠？

这个问题应该仍是“烂大街”了，最优解法（二进制编码）早就被传开了，不外似乎没东说念主说起这个问题与高维空间的关系。

不要以为高维空间只是数学家的算计，接下来我将展示：把老鼠放到高维空间的枢纽。

回到“老鼠试药问题”，1000瓶药太多了，为了便捷清爽，我把1000瓶药改成24瓶药。

想找到24瓶药中混有的1瓶毒药，最少需要若干只老鼠？

（1）最粗拙的想法是用23只老鼠，一只老鼠吃一瓶药，如果有老鼠中毒，那中毒的老鼠吃的药便是毒药，如果莫得老鼠中毒，那没被吃的药便是毒药。

（2）略略精巧极少的枢纽是把24瓶药排成4行6列的方阵，用3只老鼠分别吃前3行的药，再用5只老鼠分别吃前5列的药。一天之后就不错知说念毒药所在的行和列，这就找到了毒药，只需要8只老鼠。

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（3）更精巧的枢纽是是把24瓶药排成4行3列2层的立体方阵，用3只老鼠分别吃前3行的药，再用2只老鼠分别吃前2列的药，再用1只老鼠吃1层的药，一天之后就不错知说念毒药所在的行、列、层，这就找到了毒药，只需要6只老鼠。

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第一种枢纽相配于把24瓶药在一维空间中摆列。

第二种枢纽相配于把24瓶药在二维空间中摆列，4×6=24，需要的老鼠有3+5=8只。

第三种枢纽相配于把24瓶药在三维空间中摆列，4×3×2=24，需要的老鼠有3+2+1=6只。

也便是说把24瓶药在更高维的空间中摆列，就不错用更少的老鼠去试药。

如果把24瓶药在四维空间中摆列，需要的老鼠会更少，不错预见2×2×2×3=24，只需要1+1+1+2=5只老鼠。

如果把24瓶药在五维空间中摆列，2×2×2×2×2=32＞24，需要1+1+1+1+1=5只老鼠，这和在四维空间中摆列时需要的老鼠一样多。

仍是不错详情最少需要用5只老鼠，然而还要给出具体的操作枢纽。

咱们生存的寰球是三维空间，咱们不能能竟然把24瓶药在四维空间、五维空间中摆列，然而咱们不错用前边提到的示意n维空间中的点的枢纽去达到调换的遵守！

把24瓶药在二维空间中摆列时，相配于给了每一瓶药一个二维坐标，每只老鼠吃的药齐是在坐标中的调换位置有着调换数字的药。

（0，0） （0，1） （0，2） （0，3）

（1，0） （1，1） （1，2） （1，3）

（2，0） （2，1） （2，2） （2，3）

（3，0） （3，1） （3，2） （3，3）

（4，0） （4，1） （4，2） （4，3）

（5，0） （5，1） （5，2） （5，3）

把24瓶药在五维空间中摆列，相配于给了每一瓶药一个五维坐标，每只老鼠吃的药也齐是在坐标中的调换位置有着调换数字的药。

（0，0，0，0，0） （0，0，0，0，1）

（0，0，0，1，0） （0，0，0，1，1）

（0，0，1，0，0） （0，0，1，0，1）

（0，0，1，1，0） （0，0，1，1，1）

（0，1，0，0，0） （0，1，0，0，1）

（0，1，0，1，0） （0，1，0，1，1）

（0，1，1，0，0） （0，1，1，0，1）

（0，1，1，1，0） （0，1，1，1，1）

（1，0，0，0，0） （1，0，0，0，1）

（1，0，0，1，0） （1，0，0，1，1）

（1，0，1，0，0） （1，0，1，0，1）

（1，0，1，1，0） （1，0，1，1，1）

这种五维坐标相配像二进制编码（只用0和1编码），算计机中的数据齐是用二进制编码存储的。

现实上，二进制编码自身便是稀薄的高维空间坐标，是以从某种敬爱上说，算计机中的数据齐存放在高维空间中。

近似的东西还有电话号码、门招牌、身份证号、邮政编码、……，整个的号码齐是高维空间的坐标，对应着高维空间的矢量。没错，高维空间在现实生存中早就被用滥了，身为21世纪的东说念主，听到“高维空间”实在没必要大惊小怪。

浅谈线性代数

排斥了高维空间的玄妙感，才能的确赏玩线性代数。前边说过微积分的主角是函数，在这里要说：线性代数的主角是矢量。

正如前边所说，无限多个矢量构成了线性空间，而线性代数的整个故事齐是在线性空间中发生的。

线性空间的严格界说需要用到矢量的8条运算定律，这8条运算定律其实是辩认矢量用的，欢欣这8条运算定律的东西便是矢量。

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“有大小和地点的量”或然欢欣这8条运算定律，是以不错作为是矢量。

神奇的地方在于一些函数也欢欣这8条运算定律，是以某些函数亦然矢量（量子力学中的波函数亦然希尔伯特空间中的矢量，听不懂这句话不紧要，你只需要知说念这对清爽量子力学很紧要），这是把微积分和线性代数联结起来的要害想想，不外对此重点到为止了，因为它远远超出了本书的限度。

至此，不消对“矢量”这个成见感到目生，咱们依旧把它当成咱们熟练的矢量就行了，对于线性空间亦然一样，咱们只需要知说念“无限多个矢量构成了线性空间”就行了。

照旧要从一个具体的矢量谈起，比如（8，4，7），更好的示意枢纽是8i+4j+7k，这是三维线性空间中的一个矢量，i、j、k是三维线性空间的一组“基”，如果把矢量作为是有向线段，那么i、j、k便是三个长度为1的矢量。

每一种坐标系齐有我方的“基”，最常见的是直角坐标系，它的“基”是相互垂直的，此时的i、j、k不错示意成i =（1，0，0），j =（0，1，0），k =（0，0，1）。

n维线性空间有n个“基”，二维直角坐标系就独一两个基：i、j，不错示意成i =（1，0），j =（0，1），就像下图展示的一样。

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相应的还有斜角坐标系，二维斜角坐标系的“基”不错示意成i =（1，0），j =（0.5，0.866），就像上图展示的一样。

大部分读者可能齐对斜角坐标系感到目生，其实不消惊讶，坐标轴本来就不瑕瑜得垂直，咱们粗陋使用直角坐标系只是因为它粗拙良友。

在这里必须评述斜角坐标系是因为它是清爽广义相对论的基础，一个斜角坐标系有两种“基”：

协变基

逆变基

上头展示的二维斜角坐标系的“基”其实只是“协变基”，具体的内容有些复杂，本书不再磋议，有兴味的读者不错参阅竹帛《感性力学》。

线性代数默许了一种直角坐标系的“布景”，示意上头的多样“基”的时候齐是用那些“基”在直角坐标系中的坐标示意的。

一个矢量8i+4j+7k由两部分构成：“基”和坐标，“基”便是i、j、k，坐标是（8，4，7），上头展示了“基”是用直角坐标系中的坐标示意的。

这是相比绕的内容，在描述矢量时，要选取一个具体的坐标系，矢量的坐标是矢量在具体的坐标系中的坐标，“基”是具体的坐标系的“基”，“基”的坐标是在默许的直角坐标系中的坐标。

希望诸君读者不错清爽上头的内容，笔者仍是郁闷了。

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